1. Колебания со многими степенями свободы

 

На гладкой горизонтальной поверхности находятся N грузиков, соединенных пружинками. Грузик с номером 1 также соединен с помощью еще одной пружинки со стеной. Определить временную зависимость смещений грузиков от их положений равновесия при заданных начальных смещениях и скоростях. Рассмотреть систему, состоящую не менее чем из 10 грузиков. Изобразить на рисунке зависимости смещений от времени для трех произвольных грузиков. Массы грузиков и жесткости пружинок заданы. Для задания начальных смещений и скоростей можно использовать псевдослучайные числа, равномерно распределенные в некотором заданном интервале.

 

2. Методы Монте-Карло. Вычисление многомерных интегралов. Моделирование в статистической физике

 

2.1 Методом Монте-Карло оценить значение числа Pi. Изобразить на рисунке в логарифмическом масштабе зависимость погрешности оценки числа Pi от количества испытаний.

 

2.2 Выполнить моделирование установления теплового равновесия в одномерном идеальном газе с помощью алгоритма Кройца. Сравнить полученое распределение молекул по скоростям с распределением Максвелла при заданной температуре f(v_x)=sqrt(1.0/(2*pi*m*k*T))exp(-0.5*m*v_x*v_x/(k*T)), построив две кривые на одном рисунке.

 

 

3. Распределение потенциала между обкладками бесконечного коденсатора квадратного сечения

 

С помощью численного решения уравнения Лапласа рассчитать распределение потенциала в поперечном сечении конденсатора квадратного сечения. Изобразить полученную зависимость на графике.

 

4. Фильтрация помех с помощью преобразования Фурье

 

На функцию f(t)=sin(2*pi*t) наложить высокочастотные помехи со случайными амплитудами: f(t)=> f(t) + sum_{m=1}^M alpha_m*sin(2*pi*16*m*t). Выполнить дискретное преобразование Фурье для функции с помехами и положить амплитуды, соответствуюцие достаточно высоким частотам равными нулю. Выполнить обратное преобразование Фурье и получить отфильтрованный сигнал. Изобразить на одном рисунке исходную функцию f(t), функцию f(t) с наложенными помехами и функцию, получившуюся в результате фильтрации помех.

 

5. Моделирование резонанса в системе двух осцилляторов с нелинейной связью.

 

Завершить вывод уравнений движения для системы, состоящей из грузика, подвешенного на пружинке, который может также отклоняться от вертикали. Решить численно уравнения движения, изобразить на одном графике зависимости от времени для отклонения пружинки от вертикали и изменения ее длины. Численно проверить закон сохранения энергии. Проиллюстрировать явление резонанса, которое возникает при определенном соотношении частот собственных колебаний для двух степеней свободы.